JURIS - ARTIGOS DE FUNDO II - Que significam os números do nosso cartão de crédito

Tarjetas Ao olharmos para o nosso cartão verificamos que nele existem 16 dígitos em grupos de 4.

O que significa cada um desses números? Qual o papel das matemáticas no seu conjunto?

Os números de um cartão de crédito

Tarjeta Tomando como exemplo o cartão abaixo, vemos os 16 dígitos separados em grupos de 4. Estão assim para serem identificados mais facilmente e não porque cada grupo tenha um significado especial.

Vamos tomar como exemplo o número da imagem:

$1234567812345678$

O significado desses 16 números é o seguinte:

Os quatro primeiros dígitos ( $1234$ no nosso caso) são o número de identificação da entidade que nos proporciona o cartão, que é diferente segundo a entidade a que corresponde (até sendo da mesma entidade, dois cartões de diferentes continentes podem ter números diferentes).
O dígito seguinte, ( $5$ ) indica o tipo de cartão e a identificação da entidade financeira a que se refere (American Express, VISA, …).
Os dez dígitos seguintes (no nosso exemplo, $6781234567$ ) são o número único de identificação do utilizador a que pertence o cartão.
O dígito final ( $8$ na imagem) é um dígito de controlo.

E neste último ponto é onde entram as matemáticas. O dígito de controlo calcula-se a partir dos dígitos anteriores e serve para confirmar que o número do cartão é um número válido. Tenhamos em conta que há muitos locais onde nos solicitam para introduzir números do cartão, pelo que é interessante que exista um algorítmo para eliminar números de cartão falsos.

O algoritmo que se utiliza para calcular o dígito de controlo de um cartão denomina-se algoritmo de Luhn e deve-se ao informático alemão Hans Peter Luhn. Está baseado na aritmética modular e funciona da seguinte maneira:

De esquerda a direita, tomamos os dígitos que aparecem nas posições ímpares e vamos multiplicá-los por 2. Se o número obtido for menor que 10, ficamos com ele; se for maior que 10, somamos os dígitos desse número e ficamos com o resultado (isto é, calculamos o valor do resultado módulo 9).
Somamos todos os resultados obtidos no passo anterior. Digamos que essa soma vale $A$ .
Somamos todos os dígitos que aparecem nas posições pares do número do cartão (excepto o dígito de controlo, que é o que não sabemos). Chamemos $B$ à dita soma.
Agora somamos os dois resultados anteriores. Tomamos o valor desta soma e vamos deixando 10 até obter um número entre 0 e 9 (isto é, calculamos Soma módulo 10). Então o dígito de controlo (DC) é 10 menos esse número obtido. Expressado matematicamente:
$DC=10-(A+B mod 10)$

Para saber se um número de cartão é falso o que podemos fazer é acrescentar o último dígito do número (o suposto dígito de controlo) à soma dos dígitos das posições pares. Se o resultado de A+B não é múltiplo de 10 (quer dizer, se não é igual ao módulo 10) então o número do cartão é falso.

Vamos dar um exemplo utilizando o mesmo número:

$1234567812345678$

Colocaremos todos os dados numa tabela e depois veremos se a soma final é ou não é múltiplo de 10:

Número do cartão	1	2	3	4	5	6	7	8	1	2	3	4	5	6	7	8
Ímpares por 2 módulo 9	2		6		1		5		2		6		1		5		A=28
Dígitos em posição par		2		4		6		8		2		4		6		8	B=40
Soma	1	2	6	4	1	6	5	8	1	2	6	4	1	6	5	8	A+B=68

Agora:

$68 equiv 8 mod 10$

Portanto, o número do cartão da imagem é falso. Podem provar com os vossos cartões de crédito para comprovar que o algorítmo dá resultados correctos, isto é, que os números dos vossos cartões são totalmente verdadeiros..

Como recuperar um dígito perdido de um número do cartão?

Como é evidente, este algorítmo pode-nos ajudar em qualquer altura. Imaginemos que não recordamos um dígito do número do nosso cartão (ou que não temos a certeza de alguns), que recordamos todos os outros e que sabemos que posição ocupa aquele que nos esqueceu. O algorítmo de Luhn ajuda-nos a recuperar esse número.

Tomemos como exemplo o número

$3986X29557281742$

Suponhamos que esse é o nosso número do cartão, mas que não nos lembramos do dígito que corresponde à posição que ocupa em $X$ . Bem, para calcular esse dígito simplesmente propomos o algorítmo de Luhn verificando se $X$ ocupa uma posição par ou ímpar e recordando que o resultado final deve ser igual a 0 módulo 10. No nosso caso obtemos:

$A=6+7+2X+9+1+4+2+8=2X+37$
$B=9+6+2+5+7+8+7+2=46$
$A+B=2X+83$

Portanto, $2X+83$ deve ser um múltiplo de 10. Bem, não exactamente, já que há que recordar que se $2X$ é maior ou igual a 10 há que somar os dois números.

Vamos agora ver que valor tem $X$ . Por um lado, se $X < 4$ , obtemos que $2X$ é um número de uma cifra, pelo que ficaríamos com o seu valor. Mas nesse caso teríamos que $2X+83$ é um número ímpar, pelo que é impossível que seja igual a 0 módulo 10. Por isso, deve ser $X ge 4$ .